Como gerar números aleatórios de forma justa

Resposta rápida: Um número aleatório justo dá a cada número do intervalo escolhido exatamente a mesma chance de ser sorteado. Para um intervalo com N valores possíveis, cada valor tem uma probabilidade de 1 em N. Use um gerador de números aleatórios confiável, defina o intervalo antes do sorteio e nunca gere novamente um resultado só porque você não gostou dele: esse único hábito é o que transforma um sorteio justo em um sorteio manipulado.

O que «justo» realmente significa quando falamos de aleatoriedade

Quando as pessoas dizem que um sorteio foi «justo», normalmente querem dizer que ninguém pôde prever ou influenciar o resultado e que todas as participações tinham a mesma chance. Na matemática, isso se chama distribuição uniforme: se há N resultados possíveis, cada um tem uma probabilidade de 1 em N. Um dado equilibrado de seis faces é o exemplo clássico. Cada face — 1, 2, 3, 4, 5, 6 — tem uma probabilidade de 1 em 6, ou cerca de 16,67 %. Nenhuma face é favorecida, e nenhuma face está «prestes a sair».

É importante separar a justiça da aparência de ordem. Uma sequência justa pode parecer irregular. Se você lançar um dado 6 vezes, provavelmente não verá cada número exatamente uma vez. Se gerar 10 números aleatórios entre 1 e 100, pode ver dois números próximos, ou até o mesmo número duas vezes. Isso é normal. Aleatoriedade não significa «bem distribuído de um jeito arrumado». Significa que cada sorteio é independente e sem viés, mesmo quando os resultados de curto prazo parecem desiguais.

Outra confusão comum é entre aleatório e arbitrário. Escolher o seu número favorito, o seu ano de nascimento ou o primeiro número que vem à cabeça não é aleatório: é uma escolha humana, e as escolhas humanas estão cheias de padrões escondidos. Estudos sobre como as pessoas «escolhem um número aleatório» mostram sempre o mesmo: as pessoas evitam os extremos, preferem os valores do meio e usam demais números como o 7. Se você quer um resultado justo, não deixe uma pessoa escolher o número. Deixe um gerador, um dado ou um sorteio embaralhado escolher.

A fórmula do intervalo: quantos valores há, e quais são as chances?

Todo sorteio justo começa com um intervalo claramente definido. O número de valores possíveis em um intervalo de números inteiros de um mínimo até um máximo é: Quantidade = máximo − mínimo + 1. O «+ 1» importa porque os dois extremos estão incluídos. Um intervalo de 1 a 100 contém 100 valores, não 99. Um intervalo de 5 a 15 contém 11 valores (5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15), não 10. Esquecer o «+ 1» é o erro de cálculo mais comum em sorteios, e ele muda silenciosamente todas as probabilidades seguintes.

Depois que você conhece a quantidade N, a probabilidade de um valor específico é: Probabilidade = 1 em N.

Exemplo 1: Um número de 1 a 100

A quantidade é 100 − 1 + 1 = 100. Cada número tem uma probabilidade de 1 em 100, ou seja, 1 %. Se você repetir o sorteio 1.000 vezes, esperaria que cada número aparecesse cerca de 10 vezes em média (1.000 dividido por 100). Em um único sorteio, porém, o 37 tem exatamente a mesma probabilidade que o 100, e exatamente a mesma que o 1. Em um sorteio justo, não existe número «mais sortudo».

Exemplo 2: Um lance de dado, de 1 a 6

A quantidade é 6 − 1 + 1 = 6. Cada face tem uma probabilidade de 1 em 6, cerca de 16,67 %. Se você lançar um dado equilibrado 600 vezes, esperaria cada face cerca de 100 vezes (600 dividido por 6). Os lances reais vão se desviar de 100 — talvez uma face apareça 92 vezes e outra 108 vezes — e esse desvio não significa que o dado seja injusto. Só um viés grande e sistemático (por exemplo, uma face aparecendo 200 vezes em 600) indicaria um problema.

Exemplo 3: Um número de 1 a 1.000

A quantidade é 1.000 − 1 + 1 = 1.000. Cada número tem uma probabilidade de 1 em 1.000, ou seja, 0,1 %. Esta é a escala certa para grandes rifas, sorteios com bilhetes numerados e atividades em sala de aula com centenas de participantes. Se apenas 50 bilhetes foram vendidos em um sorteio de 1 a 1.000, lembre-se de que 950 números não pertencem a ninguém: a chance de o número vencedor corresponder a um bilhete vendido é de 50 em 1.000, ou 5 %. O sorteio continua justo; é simplesmente um sorteio em que a maioria dos números não foi atribuída.

Um hábito útil é escrever o intervalo antes de gerar qualquer coisa: «Vamos sortear um número inteiro de 1 a 100, inclusive». Essa única frase evita as duas disputas mais frequentes: se os extremos contam, e se o sorteio deve ser repetido.

Sorteios sem repetição: rifas, lugares e times

Muitos sorteios reais precisam de vários vencedores, e ninguém deveria ganhar duas vezes. Isso é um sorteio sem repetição, também chamado de sorteio sem reposição. O método é simples: gere um número, retire-o do conjunto e gere o próximo número a partir do conjunto menor. Um bom gerador de números aleatórios tem uma opção de «sem repetições» ou «números únicos» que faz exatamente isso.

Exemplo resolvido: uma rifa escolar

Imagine que uma escola venda 100 bilhetes de rifa, numerados de 1 a 100, e precise de 3 ganhadores. O procedimento justo é: 1. Sorteie um número de 1 a 100. Digamos que o resultado seja 42. O bilhete 42 ganha o primeiro prêmio. 2. Retire o 42 do conjunto. Sorteie um número entre os 99 bilhetes restantes. Digamos que o resultado seja 17. O bilhete 17 ganha o segundo prêmio. 3. Retire o 17 também. Sorteie um número entre os 98 bilhetes restantes. Digamos que o resultado seja 88. O bilhete 88 ganha o terceiro prêmio.

Cada bilhete começa com a mesma chance de ganhar pelo menos um prêmio: 3 em 100, ou 3 %. Mas, depois que um bilhete ganhou, ele não pode ganhar de novo, então os sorteios seguintes são feitos a partir de um conjunto menor. Isso é justo, porque todos os bilhetes enfrentaram as mesmas regras desde o início.

A mesma lógica vale para definir lugares e montar times. Para sentar 8 pessoas de forma justa, atribua a cada pessoa um número de 1 a 8, embaralhe a ordem com um sorteio sem repetição e sente as pessoas na ordem sorteada. Existem 40.320 ordens possíveis para sentar 8 pessoas (8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1), e um sorteio justo dá a cada ordem a mesma chance. O que você não deve fazer é sortear uma ordem, não gostar dela e sortear de novo até os amigos ficarem juntos. No momento em que você sorteia de novo para obter um resultado preferido, o processo deixa de ser justo.

Uma dica prática: se você sorteia à mão, use um recipiente com papéis numerados, misture bem e sorteie sem olhar. Se sorteia na tela, use um gerador com ajuste de não repetição e tire uma captura de tela do resultado antes de anunciá-lo. Um registro visível e com data protege tanto o organizador quanto os participantes.

Intervalos decimais: quando os inteiros não bastam

Às vezes você precisa de um decimal aleatório: por exemplo, um desconto aleatório entre R$ 5,00 e R$ 20,00, ou uma medida aleatória entre 1,00 e 10,00. O mesmo princípio de justiça se aplica, mas primeiro você deve decidir o passo, ou seja, o grau de precisão dos valores.

Considere o intervalo de 1,00 a 10,00 em passos de 0,01. A quantidade é (10,00 − 1,00) ÷ 0,01 + 1 = 901 valores. Cada valor — 1,00, 1,01, 1,02, até 10,00 — tem uma probabilidade de 1 em 901. Se, em vez disso, você permitir qualquer decimal sem um passo fixo, o gerador escolhe dentro de um intervalo contínuo e a chance de acertar um valor exato se torna praticamente zero; nesse caso, fale de faixas («entre 4,00 e 5,00») em vez de valores exatos.

Duas regras mantêm os sorteios decimais justos. Primeira: decida o passo antes de sortear e anote-o. Segunda: não arredonde o resultado depois do sorteio para deixá-lo «mais bonito». Arredondar um valor sorteado de 7,38 para 7,40 muda a distribuição, porque alguns valores arredondados passam a reunir resultados de mais de um valor original. Se você quer valores arredondados para uma casa decimal, configure o gerador com esse passo desde o início.

Por que escolher aleatoriamente NÃO melhora as suas chances na loteria

Este é o mito mais persistente sobre números aleatórios: que um conjunto de números «aleatório» tem mais sorte do que um conjunto escolhido. Não tem. Em uma loteria em que você escolhe 6 números de 49, como a Mega-Sena em seu formato de 6 dezenas (o cálculo aqui usa 49 números para ilustrar), o número de combinações possíveis é 13.983.816, então qualquer bilhete — seja com números vindos de um gerador, de datas de aniversário ou de um sonho — tem uma probabilidade de 1 em 13.983.816 de acertar os seis. As bolas não sabem como você escolheu os seus números, e o sorteio não recompensa a aleatoriedade.

Há uma única exceção parcial, e ela diz respeito a dividir um prêmio, não a ganhá-lo. Números populares (de 1 a 31, por causa das datas do calendário, e padrões simples como 1, 2, 3, 4, 5, 6) são escolhidos por muitos jogadores, então, se esses números ganharem, o prêmio é dividido entre mais ganhadores. Um conjunto aleatório e espalhado tem menos chance de ser dividido, mas exatamente a mesma chance de ganhar. Portanto, um gerador pode ajudar você a evitar dividir um prêmio; não pode ajudar você a ganhá-lo. Quem vende um «sistema de números aleatórios vencedores» está vendendo uma história, não matemática.

A mesma independência vale para sequências. Se uma moeda caiu cara três vezes seguidas, a probabilidade de cara no próximo lançamento continua sendo 1 em 2 (três caras seguidas têm uma probabilidade de 1 em 8, ou 12,5 %, mas isso descreve a sequência já completa, não o próximo lançamento). Eventos aleatórios não têm memória. Um número que não aparece há muito tempo não está «prestes a sair», e um número que saiu ontem não está «esgotado».

Erros comuns que estragam um sorteio justo

Sortear de novo até gostar do resultado. Este é o principal destruidor da justiça. Se você gera um número, rejeita-o e gera outro até aparecer um resultado preferido, o resultado final já não é uniforme: os números de que você não gosta foram filtrados. Decida com antecedência: o primeiro sorteio válido vale, sem exceções.

Deixar uma pessoa «escolher aleatoriamente». As pessoas se agrupam em torno dos valores do meio, evitam repetições e preferem números familiares. Se uma pessoa escolhe o número, chame isso de escolha, não de sorteio. Para que seja justo, a seleção deve vir de um dispositivo ou processo que os participantes não possam manipular.

Mudar o intervalo no meio do sorteio. Começar com 1 a 100 e depois mudar para 1 a 50 porque «há números demais sem dono» muda as chances de todos depois que alguns já foram afetados. Defina o intervalo, o número de ganhadores e a regra de não repetição antes do primeiro sorteio, e anuncie-os.

Usar uma ferramenta enviesada. Um dado rachado, um baralho mal embaralhado ou um gerador que favorece certos resultados quebram a uniformidade. Para sorteios casuais, um dado comum ou um gerador on-line de boa reputação basta. Para qualquer coisa que envolva dinheiro ou prêmios, use um gerador conhecido e guarde um registro do resultado.

Confundir «ordem aleatória» com «escolha aleatória». Embaralhar uma lista de músicas e escolher a primeira é uma forma justa de escolher uma música. Mas embaralhar e depois pular as músicas de que você não gosta até chegar a uma de que gosta não é uma escolha justa de forma alguma: é uma escolha disfarçada de embaralhamento.

Como fazer um sorteio justo: uma lista de verificação curta

1. Anote o intervalo, incluindo os dois extremos, antes de sortear. 2. Informe quantos ganhadores ou escolhas você precisa e se repetições são permitidas. 3. Escolha a ferramenta com antecedência: um dado equilibrado, papéis embaralhados ou um gerador de números aleatórios confiável com opção de não repetição, se necessário. 4. Faça o sorteio de forma visível: pessoalmente, diante de testemunhas, ou com uma captura de tela ou gravação. 5. Aceite o primeiro resultado válido. Não sorteie de novo, não gere de novo, nem «tente outra vez por sorte». 6. Registre o resultado imediatamente — os números, a data e as testemunhas — e anuncie-o sem alterações.

Siga esses seis passos e o seu sorteio será justo no sentido que importa: cada participante teve a mesma chance, o processo foi definido antes de o resultado ser conhecido e ninguém pôde manipular o resultado depois de vê-lo. Isso é o que justiça significa, e está totalmente sob o seu controle — mesmo que o resultado em si não esteja.