Rastgele Sayıları Adil Bir Şekilde Nasıl Üretirsiniz?

«Adil» rastgele sayı gerçekten ne anlama gelir?

İnsanlar bir çekilişin «adil» olduğunu söylediğinde genellikle hiç kimsenin sonucu tahmin edemediğini ya da etkileyemediğini ve her katılımın eşit şansa sahip olduğunu kasteder. Matematikte buna düzgün dağılım denir: N olası sonuç varsa her birinin olasılığı 1 bölü N'dir. Altı yüzlü dengeli bir zar klasik örnektir. Her yüz — 1, 2, 3, 4, 5, 6 — 6'da 1, yani yaklaşık %16,67 olasılığa sahiptir. Hiçbir yüz kayırılmaz ve hiçbir yüz «çıkmak üzere» değildir.

Adillik ile düzenli görünümü ayırmak önemlidir. Adil bir dizi düzensiz görünebilir. Bir zarı 6 kez atarsanız muhtemelen her sayıyı tam bir kez görmezsiniz. 1 ile 100 arasında 10 rastgele sayı üretirseniz birbirine yakın iki sayı, hatta aynı sayıyı iki kez görebilirsiniz. Bu normaldir. Rastgelelik «derli toplu dağılmış» anlamına gelmez. Her çekilişin bağımsız ve yanlılıktan uzak olması anlamına gelir, kısa vadeli sonuçlar yığılmalı görünse bile.

Bir diğer yaygın karışıklık rastgele ile keyfî arasındadır. En sevdiğiniz sayıyı, doğum yılınızı ya da aklınıza gelen ilk sayıyı seçmek rastgele değildir: bu bir insan seçimidir ve insan seçimleri gizli kalıplarla doludur. İnsanların «rastgele bir sayı seçme» biçimi üzerine yapılan çalışmalar hep aynı şeyi gösterir: insanlar uçlardan kaçar, orta değerleri tercih eder ve 7 gibi sayıları aşırı kullanır. Adil bir sonuç istiyorsanız sayıyı bir kişinin seçmesine izin vermeyin. Bir üretecin, bir zarın ya da karıştırılmış bir çekilişin seçmesine izin verin.

Aralık formülü: Kaç değer var ve olasılıklar nedir?

Her adil çekiliş, açıkça tanımlanmış bir aralıkla başlar. Bir minimum ile bir maksimum arasındaki tam sayı aralığında olası değerlerin sayısı şöyledir: Adet = maksimum − minimum + 1. «+ 1» önemlidir, çünkü her iki uç da dahildir. 1 ile 100 arasındaki aralık 99 değil, 100 değer içerir. 5 ile 15 arasındaki aralık 10 değil, 11 değer içerir (5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15). «+ 1»i unutmak, çekilişlerdeki en yaygın aritmetik hatadır ve ardından gelen tüm olasılıkları sessizce değiştirir.

N adetini bildiğinizde, belirli bir değerin olasılığı şöyledir: Olasılık = N'de 1.

Örnek 1: 1 ile 100 arasında bir sayı

Adet 100 − 1 + 1 = 100'dür. Her sayının olasılığı 100'de 1, yani %1'dir. Çekilişi 1.000 kez tekrarlarsanız her sayının ortalama yaklaşık 10 kez çıkmasını beklersiniz (1.000 bölü 100). Tek bir çekilişte ise 37, 100 ile tam olarak aynı olasılığa ve 1 ile tam olarak aynı olasılığa sahiptir. Adil bir çekilişte «daha şanslı» bir sayı yoktur.

Örnek 2: Bir zar atışı, 1 ile 6 arası

Adet 6 − 1 + 1 = 6'dır. Her yüzün olasılığı 6'da 1, yaklaşık %16,67'dir. Dengeli bir zarı 600 kez atarsanız her yüzün yaklaşık 100 kez çıkmasını beklersiniz (600 bölü 6). Gerçek atışlar 100'den sapar — belki bir yüz 92 kez, bir başkası 108 kez çıkar — ve bu sapma zarın adil olmadığı anlamına gelmez. Yalnızca büyük ve sistematik bir yanlılık (örneğin bir yüzün 600 atışta 200 kez çıkması) bir soruna işaret eder.

Örnek 3: 1 ile 1.000 arasında bir sayı

Adet 1.000 − 1 + 1 = 1.000'dir. Her sayının olasılığı 1.000'de 1, yani %0,1'dir. Bu, büyük çekilişler, numaralı biletli çekilişler ve yüzlerce katılımcılı sınıf etkinlikleri için doğru ölçektir. 1 ile 1.000 arasındaki bir çekilişte yalnızca 50 bilet satıldıysa şunu unutmayın: 950 sayı kimseye ait değildir — kazanan sayının satılmış bir bilete denk gelme şansı 1.000'de 50, yani %5'tir. Çekiliş hâlâ adildir; yalnızca çoğu sayının atanmadığı bir çekiliştir.

Yararlı bir alışkanlık, herhangi bir şey üretmeden önce aralığı yazmaktır: «1 ile 100 arasında, her iki uç dahil, bir tam sayı çekiyoruz.» Bu tek cümle, en sık çıkan iki anlaşmazlığı önler: uçların sayılıp sayılmadığı ve çekilişin tekrarlanıp tekrarlanmayacağı.

Tekrarsız çekilişler: çekilişler, oturma planları ve takım seçimleri

Birçok gerçek çekiliş birden fazla kazanan gerektirir ve hiç kimse iki kez kazanmamalıdır. Bu, tekrarsız çekiliş, yani yerine koymadan çekiliş demektir. Yöntem basittir: bir sayı üretin, havuzdan çıkarın ve sonraki sayıyı daha küçük havuzdan üretin. İyi bir rastgele sayı üretecinde bunu tam olarak yapan bir «tekrar yok» ya da «benzersiz sayılar» seçeneği vardır.

Çözümlü örnek: bir okul çekilişi

Bir okulun 1 ile 100 arasında numaralanmış 100 çekiliş bileti sattığını ve 3 kazanan gerektiğini varsayalım. Adil prosedür şöyledir: 1. 1 ile 100 arasında bir sayı çekin. Sonucun 42 olduğunu varsayalım. 42 numaralı bilet birinci ödülü kazanır. 2. 42'yi havuzdan çıkarın. Kalan 99 bilet arasından bir sayı çekin. Sonucun 17 olduğunu varsayalım. 17 numaralı bilet ikinci ödülü kazanır. 3. 17'yi de çıkarın. Kalan 98 bilet arasından bir sayı çekin. Sonucun 88 olduğunu varsayalım. 88 numaralı bilet üçüncü ödülü kazanır.

Her bilet, en az bir ödül kazanmak için aynı şansla başlar: 100'de 3, yani %3. Ancak bir bilet kazandıktan sonra yeniden kazanamaz, bu yüzden sonraki çekilişler daha küçük bir havuzdan yapılır. Bu adildir, çünkü her bilet en başından aynı kurallara tabiydi.

Aynı mantık oturma planları ve takım oluşturma için de geçerlidir. 8 kişiyi adil bir şekilde oturtmak için her kişiye 1 ile 8 arasında bir sayı verin, sırayı tekrarsız bir çekilişle karıştırın ve kişileri çekilen sırayla oturtun. 8 kişi için 40.320 olası oturma sırası vardır (8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1) ve adil bir karıştırma her sıraya aynı şansı verir. Yapmamanız gereken şey, bir sırayı çekip beğenmeyip arkadaşlar yan yana oturana kadar yeniden çekmektir. Tercih ettiğiniz bir sonucu elde etmek için yeniden çektiğiniz an, süreç adil olmaktan çıkar.

Pratik bir ipucu: elle çekiliş yapıyorsanız numaralı kâğıtların olduğu bir kap kullanın, iyice karıştırın ve bakmadan çekin. Ekranda çekiliş yapıyorsanız tekrarsız ayarına sahip bir üreteç kullanın ve sonucu açıklamadan önce ekran görüntüsü alın. Görülebilir ve tarihli bir kayıt, organizatörü de katılımcılar kadar korur.

Ondalıklı aralıklar: tam sayılar yetmediğinde

Bazen rastgele bir ondalık sayıya ihtiyaç duyarsınız: örneğin 5,00 ₺ ile 20,00 ₺ arasında rastgele bir indirim ya da 1,00 ile 10,00 arasında rastgele bir ölçüm. Aynı adillik ilkesi geçerlidir, ancak önce adım büyüklüğüne, yani değerlerin ne kadar ince olduğuna karar vermelisiniz.

1,00 ile 10,00 aralığını 0,01 adımlarla ele alın. Adet (10,00 − 1,00) ÷ 0,01 + 1 = 901 değerdir. Her değer — 1,00, 1,01, 1,02, ta 10,00'a kadar — 901'de 1 olasılığa sahiptir. Bunun yerine sabit bir adım olmadan herhangi bir ondalığa izin verirseniz üreteç sürekli bir aralıktan seçim yapar ve tam bir değeri tutturma şansı fiilen sıfıra iner; bu durumda tam değerler yerine aralıklardan bahsedin («4,00 ile 5,00 arasında» gibi).

Ondalıklı çekilişleri adil tutan iki kural vardır. Birincisi: adım büyüklüğüne çekilişten önce karar verin ve yazın. İkincisi: sonucu çekilişten sonra «daha hoş» görünmesi için yuvarlamayın. Çekilen 7,38 değerini 7,40'a yuvarlamak dağılımı değiştirir, çünkü bazı yuvarlanmış değerler o zaman birden fazla özgün değerin sonuçlarını toplar. Bir ondalık basamağa yuvarlanmış değerler istiyorsanız üreteci en baştan bu adıma ayarlayın.

Rastgele seçimler piyango şansınızı NEDEN artırmaz?

Bu, rastgele sayılarla ilgili en kalıcı efsanedir: «rastgele» bir sayı grubunun seçilmiş bir gruptan daha şanslı olduğu düşüncesi. Böyle değildir. 49 sayıdan 6'sını seçtiğiniz bir piyangoda olası kombinasyon sayısı 13.983.816'dır, bu yüzden herhangi bir bilet — sayıları bir üreteçten, doğum günlerinden ya da bir rüyadan gelsin — altısını da tutturmak için 13.983.816'da 1 olasılığa sahiptir. Toplar sayılarınızı nasıl seçtiğinizi bilmez ve çekiliş rastgeleliği ödüllendirmez.

Tek bir dar istisna vardır ve bu, kazanmakla değil, bir ödülü paylaşmakla ilgilidir. Popüler sayılar (takvim tarihlerinden gelen 1 ile 31 arası sayılar ve 1, 2, 3, 4, 5, 6 gibi basit kalıplar) birçok oyuncu tarafından seçilir, bu yüzden bu sayılar kazanırsa ikramiye daha fazla kazanan arasında bölünür. Rastgele ve yayılmış bir sayı grubunun paylaşılma olasılığı daha düşüktür, ancak kazanma olasılığı tam olarak aynıdır. Yani bir üreteç, bir ödülü paylaşmaktan kaçınmanıza yardımcı olabilir; kazanmanıza yardımcı olamaz. «Kazandıran rastgele sayı sistemi» satan herkes bir hikâye satıyordur, matematik değil.

Aynı bağımsızlık seriler için de geçerlidir. Bir para üst üste üç kez yazı geldiyse sonraki atışta yazı olasılığı hâlâ 2'de 1'dir (üst üste üç yazı gelmesinin olasılığı 8'de 1, yani %12,5'tir, ancak bu tamamlanmış diziyi tanımlar, sonraki atışı değil). Rastgele olayların hafızası yoktur. Uzun süredir çıkmayan bir sayı «çıkmak üzere» değildir ve dün çıkan bir sayı «tükenmiş» değildir.

Adil bir çekilişi bozan yaygın hatalar

Sonucu beğenene kadar yeniden çekmek. Bu, adilliği yok eden bir numaralı etkendir. Bir sayı üretip reddedip tercih ettiğiniz bir sonuç çıkana kadar yeniden üretirseniz nihai sonuç artık düzgün dağılmaz: beğenmediğiniz sayılar elenmiş olur. Önceden karar verin: ilk geçerli çekiliş geçerlidir, istisna yoktur.

Bir kişinin «rastgele seçmesine» izin vermek. İnsanlar orta değerler etrafında toplanır, tekrarlardan kaçınır ve tanıdık sayıları tercih eder. Bir kişi sayıyı seçiyorsa buna çekiliş değil, seçim deyin. Adil olması için seçimin, katılımcıların yönlendiremeyeceği bir cihazdan ya da süreçten gelmesi gerekir.

Çekilişin ortasında aralığı değiştirmek. 1 ile 100 arasında başlayıp sonra «atanmamış sayı çok fazla» diye 1 ile 50 arasına geçmek, bazıları zaten etkilenmişken herkesin olasılığını değiştirir. Aralığı, kazanan sayısını ve tekrarsız kuralını ilk çekilişten önce belirleyin ve duyurun.

Yanlılıklı bir araç kullanmak. Çatlak bir zar, kötü karıştırılmış bir deste ya da belirli çıktıları kayıran bir üreteç düzgün dağılımı bozar. Gündelik çekilişler için sıradan bir zar ya da saygın bir çevrimiçi üreteç yeterlidir. Para ya da ödül içeren her şey için tanınmış bir üreteç kullanın ve sonucun kaydını saklayın.

«Rastgele sıra» ile «rastgele seçim»i karıştırmak. Bir çalma listesini karıştırıp ilk şarkıyı almak, bir şarkıyı seçmenin adil bir yoludur. Ancak karıştırıp beğenmediğiniz şarkıları atlayarak sevdiğiniz bir şarkıya ulaşmak hiç adil bir seçim değildir: karıştırma kılığına girmiş bir seçimdir.

Adil bir çekiliş nasıl yapılır: kısa bir kontrol listesi

1. Aralığı, her iki uç dahil, çekilişten önce yazın. 2. Kaç kazanan ya da seçim gerektiğini ve tekrarlara izin verilip verilmediğini belirtin. 3. Aracı önceden seçin: dengeli bir zar, karıştırılmış kâğıtlar ya da gerekiyorsa tekrarsız seçeneği olan güvenilir bir rastgele sayı üreteci. 4. Çekilişi görünür yapın: şahsen, tanıklar önünde ya da ekran görüntüsü veya kayıt ile. 5. İlk geçerli sonucu kabul edin. Yeniden atmayın, yeniden çekmeyin, «şans için bir kez daha» denemeyin. 6. Sonucu hemen kaydedin: sayıları, tarihi ve tanıkları, ve değiştirmeden açıklayın.

Bu altı adımı izlerseniz çekilişiniz önemli anlamda adil olur: her katılımcı aynı şansa sahipti, süreç sonuç bilinmeden önce belirlenmişti ve hiç kimse sonucu gördükten sonra yönlendiremedi. Adillik budur ve sonuç kendisi olmasa da tamamen sizin kontrolünüzdedir.