Comment calculer un ratio : simplifier et résoudre avec des exemples

Qu'est-ce qu'un ratio ?

Un ratio est une façon de comparer deux quantités de même nature. Il indique la taille d'une chose par rapport à une autre. « Cette recette utilise 3 tasses de farine pour 2 tasses de sucre » est un ratio. « Mon équipe a gagné 4 matchs pour 1 match perdu » est un ratio. « L'échelle de la carte est de 1 centimètre pour 50 kilomètres » est aussi un ratio.

Les ratios répondent à des questions comme « combien de fois plus ? », « pour chacun de ceux-ci, combien de ceux-là ? » ou « quel est le mélange ? ». On les trouve partout : en cuisine, en construction, en finance, en photographie, dans les statistiques sportives, dans les dosages de médicaments et pour mélanger de la peinture.

Deux choses à savoir d'emblée sur les ratios :

1. Les quantités doivent être de même nature — ou du moins comparables. On peut comparer 30 garçons à 20 filles, 500 g de farine à 250 g de beurre, ou 3 heures à 45 minutes (après conversion dans la même unité). Un ratio de « 5 pommes pour 3 mètres » n'a aucun sens.
2. L'ordre compte. Un ratio de 3:4 n'est pas la même chose que 4:3. Le ratio des garçons aux filles est une comparaison différente de celui des filles aux garçons. Lisez toujours un ratio de gauche à droite, dans l'ordre demandé par la question.

Les trois façons d'écrire un ratio

Le même ratio peut s'écrire de trois façons, et les trois signifient exactement la même chose :

• Notation avec deux-points : 3:4 (se lit « trois pour quatre ») — la forme la plus courante dans les manuels et les recettes.
• Forme de fraction : 3/4 — pratique quand on veut traiter le ratio comme un seul nombre.
• Forme en toutes lettres : « 3 pour 4 » — celle qu'on rencontre dans le langage courant.

Ainsi, une classe avec 3 tablettes pour 4 élèves peut s'écrire 3:4, 3/4 ou « 3 pour 4 ». Choisissez la forme la plus claire pour votre lecteur ; les mathématiques sont identiques.

Exemple résolu 1 : écrire un ratio à partir d'un énoncé

Un club de jeunes compte 12 garçons et 18 filles.

Étape 1 — identifiez les deux quantités : 12 garçons, 18 filles. Ce sont deux comptages de personnes, donc comparables.

Étape 2 — écrivez-les dans l'ordre demandé : garçons pour filles = 12:18.

Étape 3 — simplifiez : le PGCD de 12 et 18 est 6, donc 12:18 = 2:3.

Réponse : le ratio des garçons aux filles est de 2:3 — deux garçons pour trois filles.

Avertissement sur les unités : si le problème donnait 3 heures et 45 minutes, il faudrait d'abord convertir (3 heures = 180 minutes, donc le ratio est 180:45, qui se simplifie en 4:1). N'écrivez jamais un ratio avec des unités mélangées.

Simplifier un ratio avec le plus grand commun diviseur (PGCD)

La plupart des ratios que l'on rencontre ne sont pas sous leur forme la plus simple. Les simplifier les rend plus faciles à comprendre : 2:3 se saisit instantanément ; 12:18 demande un moment de réflexion. Les deux disent la même chose.

La méthode :

1. Trouvez le plus grand commun diviseur (PGCD) des deux nombres : le plus grand entier qui divise les deux exactement.
2. Divisez chaque terme du ratio par le PGCD.
3. Si le PGCD est 1, le ratio est déjà sous sa forme la plus simple.

Exemple résolu 2 : simplifier 12:18

• Diviseurs de 12 : 1, 2, 3, 4, 6, 12.
• Diviseurs de 18 : 1, 2, 3, 6, 9, 18.
• Le plus grand diviseur commun est 6.
• 12 ÷ 6 = 2 et 18 ÷ 6 = 3.

12:18 se simplifie en 2:3.

Exemple résolu 3 : simplifier 20:25

• Diviseurs de 20 : 1, 2, 4, 5, 10, 20.
• Diviseurs de 25 : 1, 5, 25.
• PGCD = 5 ; 20 ÷ 5 = 4, 25 ÷ 5 = 5.

20:25 se simplifie en 4:5. (4 et 5 n'ont aucun facteur commun hormis 1, c'est donc la forme la plus simple.)

Exemple résolu 4 : simplifier 100:250

• Le PGCD de 100 et 250 est 50.
• 100 ÷ 50 = 2, 250 ÷ 50 = 5.

100:250 se simplifie en 2:5.

Exemple résolu 5 : un ratio à trois termes — simplifier 8:12:16

Les ratios peuvent avoir plus de deux termes. Le béton, par exemple, se mélange comme ciment:sable:gravier = 1:2:3.

• Trouvez le PGCD des trois nombres : PGCD(8, 12, 16) = 4.
• Divisez chaque terme : 8 ÷ 4 = 2, 12 ÷ 4 = 3, 16 ÷ 4 = 4.

8:12:16 se simplifie en 2:3:4. La même idée, avec un terme en plus.

Si les nombres sont grands, utilisez l'algorithme d'Euclide ou un arbre de facteurs pour trouver le PGCD au lieu de lister tous les diviseurs ; la règle (tout diviser par le PGCD) ne change jamais.

Ratios équivalents : agrandir et réduire

Multipliez ou divisez les deux termes d'un ratio par le même nombre non nul et vous obtiendrez un ratio équivalent : une paire d'aspect différent qui décrit la même relation. C'est ainsi qu'on adapte les recettes, qu'on convertit les distances sur les cartes et qu'on ajuste les mélanges.

2:3 équivaut à 4:6, 6:9, 10:15 et 20:30 (les deux termes multipliés par 2, 3, 5, 10). Vérifiez : 6:9 se simplifie à nouveau en 2:3 (PGCD 6). Chaque ligne se réduit à la même forme simple : c'est le test d'équivalence.

Exemple résolu 6 : trouver un ratio équivalent

Une formule de peinture exige du rouge et du blanc dans le ratio 3:5, et vous voulez préparer un lot plus grand en utilisant 15 parts de rouge.

• Ratio actuel : 3:5. Quantité de rouge visée : 15.
• 3 × 5 = 15, donc multipliez les deux termes par 5 : 15:25.

Réponse : utilisez 25 parts de peinture blanche. Vous avez agrandi le ratio par 5 sans changer la couleur.

Résoudre une valeur manquante par produit en croix

Quand deux ratios sont égaux, ils forment une proportion : a:b = c:d. Pour trouver un terme inconnu, multipliez en croix : a × d = b × c, puis résolvez.

Exemple résolu 7 : résoudre 2:3 = x:9

• Produit en croix : 2 × 9 = 3 × x → 18 = 3x.
• Divisez par 3 : x = 6.
• Vérification : 2:3 et 6:9 se simplifient tous deux en 2:3 (6:9 → PGCD 3 → 2:3). ✓

Réponse : x = 6.

Exemple résolu 8 : résoudre 5:x = 20:12

• Produit en croix : 5 × 12 = x × 20 → 60 = 20x.
• Divisez par 20 : x = 3.
• Vérification : 20:12 se simplifie en 5:3 (PGCD 4). ✓

Réponse : x = 3.

Exemple résolu 9 : adapter une recette

Une recette de pancakes utilise de la farine et du sucre dans le ratio 2:3. Vous avez 5 tasses de farine : de combien de sucre avez-vous besoin ?

• Posez la proportion : 2:3 = 5:x.
• Produit en croix : 2 × x = 3 × 5 → 2x = 15.
• x = 7,5.

Réponse : 7,5 tasses de sucre (7 tasses et demie). La relation 2:3 est préservée.

Ratios contre fractions : le piège partie à partie

Un ratio compare partie à partie ; une fraction compare partie au tout. Les confondre est l'erreur la plus fréquente avec les ratios.

• Le ratio 3:4 signifie : pour 3 parts de A, il y a 4 parts de B.
• En fraction du tout, A vaut 3/(3+4) = 3/7 et B vaut 4/7.

Règle de conversion : à partir du ratio a:b, la première quantité est la fraction a/(a+b) du total, et la seconde est b/(a+b).

Exemple : dans une classe, le ratio des garçons aux filles est de 3:7. La fraction des élèves qui sont des garçons est 3/(3+7) = 3/10 = 0,3 = 30 %. La fraction des filles est 7/10 = 70 %. Et 30 % + 70 % = 100 % : la vérification qui confirme que la conversion est correcte.

Les ratios dans la vie réelle

Recettes et cuisine. Une vinaigrette de base, c'est huile pour vinaigre 3:1 ; la pâte à pain, c'est grosso modo farine pour eau 5:3 ; un sirop simple, c'est sucre pour eau 1:1. Si vous connaissez le ratio, vous pouvez adapter n'importe quelle recette sans calculatrice.

Cartes et maquettes. Une échelle de carte 1:50 000 signifie que 1 unité sur la carte représente 50 000 des mêmes unités dans la réalité. Exemple : avec une échelle de 1 cm pour 50 km, deux villages sont à 3,4 cm sur la carte. Distance réelle = 3,4 × 50 = 170 km. Une maquette d'avion au 1:72 mesure 1/72 de la longueur de l'avion réel.

Finance. Le ratio d'endettement compare les mensualités de dettes au revenu brut mensuel : 1 200 € de mensualités pour 4 000 € de revenus = 1 200:4 000 = 3:10, soit 30 % : le chiffre que les banques regardent vraiment. Les investisseurs utilisent le ratio cours/bénéfice (une action à 50 € avec un bénéfice par action de 2,50 € = 50:2,50 = 20:1) pour comparer les valeurs.

Mélanger peinture et béton. Une teinture pour bois à 3 parts de teinture pour 1 part de diluant, 12 litres au total : 3+1 = 4 parts ; chaque part = 3 litres ; 9 litres de teinture et 3 litres de diluant. Béton 1:2:3 (ciment:sable:gravier) pour un lot de 60 kg : 6 parts ; chaque part = 10 kg ; 10 kg de ciment, 20 kg de sable et 30 kg de gravier.

Formats d'image. Le ratio 16:9 définit les écrans panoramiques et la vidéo modernes ; 4:3 était le standard de l'ancienne télévision.

Erreurs fréquentes avec les ratios

• Unités mélangées : convertissez d'abord ; 3 heures pour 45 minutes, c'est 180:45 = 4:1, pas 3:45.
• Ordre inversé : 3:4 n'est pas 4:3. Respectez l'ordre demandé par la question.
• Oublier de simplifier : 14:21 est correct, mais 2:3 (PGCD 7) est la réponse attendue.
• Traiter un ratio partie à partie comme une fraction : 3:4 ne signifie pas « 3/4 du tout », mais 3/7 et 4/7.
• Un terme nul : un ratio comme 5:0 est indéfini — vérifiez donc toujours vos données.

Résumé de la méthode en 30 secondes

1. Écrivez les quantités sous la forme a:b dans l'ordre demandé, avec les mêmes unités.
2. Simplifiez en divisant les deux termes par leur PGCD.
3. Pour adapter les doses, multipliez ou divisez les deux termes par le même nombre.
4. Pour trouver une valeur manquante, posez a:b = c:d et multipliez en croix : ad = bc.
5. Pour convertir un ratio en fractions du tout, utilisez a/(a+b) et b/(a+b).

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