Les probabilités des dés expliquées simplement

Un dé : la probabilité la plus simple des jeux

Un dé standard à six faces porte les chiffres de 1 à 6 et, si le dé est équilibré, chaque face a exactement la même probabilité de sortir. Cela donne à chaque résultat individuel une probabilité de 1 sur 6, soit environ 16,67 %. Obtenir un 3 est exactement aussi probable qu'obtenir un 5, un 1 ou toute autre face. Il n'existe pas de face « chanceuse », pas de face « en retard » et aucun moyen d'influencer le résultat en soufflant sur le dé, en le secouant plus longtemps ou en le lançant « doucement ». Ce fait très simple est la base de tout ce qui suit. Quand vous ajoutez un second dé, vous ne demandez plus un résultat sur six. Vous demandez des combinaisons — et c'est avec les combinaisons que les probabilités des dés deviennent intéressantes. Une habitude utile consiste à toujours raisonner en termes de « sur combien ? ». Avec un dé, la réponse est toujours « sur 6 ». Avec deux dés, c'est « sur 36 », car chacune des 6 faces du premier dé peut s'associer à chacune des 6 faces du second. Ce seul passage, de 6 à 36 résultats possibles, explique toute la forme de la probabilité avec deux dés.

Deux dés : le tableau complet des sommes

Quand vous lancez deux dés et que vous les additionnez, les totaux possibles vont de 2 (1 + 1) à 12 (6 + 6). Mais les totaux ne sont pas également probables, car certains peuvent être formés de plus de façons que d'autres. Le tableau ci-dessous présente chaque total, les combinaisons qui le produisent et sa probabilité.

Notez que les deux dés sont comptés séparément : 1+2 et 2+1 sont des combinaisons différentes, même si elles donnent le même total. C'est pourquoi le 7 l'emporte : il dispose de six chemins différents, tandis que le 2 et le 12 n'en ont qu'un seul chacun. En additionnant tous les pourcentages, vous obtenez 100 %, comme il se doit : chaque lancer tombe sur exactement un total.

Pourquoi le 7 est le total le plus fréquent

Voyez cela comme une question de marge de manœuvre. Pour former un 7, le premier dé peut afficher presque n'importe quoi, de 1 à 6, et le second dé fournit simplement le nombre manquant. Pour former un 2, en revanche, les deux dés doivent afficher 1 en même temps ; il n'y a pas d'alternative. Les totaux proches du centre disposent de nombreuses combinaisons associées, tandis que les totaux des extrêmes n'en ont presque aucune. Si vous tracez les probabilités sur un graphique, vous obtenez une pyramide symétrique dont le sommet est le 7. Cela explique aussi quelques faits pratiques. Obtenir un 7 ou plus se produit dans 21 cas sur 36, soit 58,33 % du temps — plus d'une fois sur deux. Obtenir un double (les deux dés identiques) se produit dans 6 cas sur 36, soit 16,67 %, exactement la même probabilité qu'obtenir un 7. Et la probabilité d'obtenir au moins un 6 avec deux dés est de 30,56 %, car 11 des 36 combinaisons contiennent un 6. Beaucoup de débutants supposent que deux dés doublent la probabilité d'un 6, de 16,67 % à 33,33 %, mais le chiffre exact est plus faible, car la combinaison 6+6 n'est comptée qu'une seule fois.

Exemples aux jeux de société : pourquoi les probabilités d'atterrissage diffèrent

Les probabilités des dés ne sont pas que de la théorie ; elles changent la façon de jouer. Pensez au jeu de l'oie, si populaire lors des soirées en famille en France : on avance selon le lancer, et les cases situées à sept pas sont les plus faciles à atteindre exactement, avec 16,67 %, tandis que celles situées à deux pas ne s'atteignent qu'avec un 1+1, soit 2,78 %. Aux petits chevaux, le principe est le même : sortir un cheval demande un 6, ce qui n'arrive qu'une fois sur six (16,67 %), d'où ces tours d'attente bien connus. La même logique fonctionne en sens inverse. Supposez que le pion d'un adversaire se trouve à une certaine distance derrière le vôtre et qu'il lui faut un lancer exact pour vous capturer. À une distance de sept, le danger est maximal. À une distance de deux ou de douze, il est minimal. Inutile de mémoriser tout le tableau pour en profiter : retenez simplement que les distances intermédiaires sont dangereuses et que les distances extrêmes sont sûres. Un autre exemple classique est le craps, le jeu de dés de casino entièrement construit sur ces probabilités. Le premier lancer, appelé come-out roll, gagne immédiatement avec un 7 ou un 11 et perd immédiatement avec un 2, un 3 ou un 12. C'est pourquoi le 7 domine le jeu : il apparaît plus souvent que tout autre total, donc les règles sont conçues autour de lui. Dans les jeux en famille, on retrouve le même schéma chaque fois qu'une case spéciale, un bonus ou une pénalité se déclenche sur un total précis : le concepteur du jeu a choisi, en le sachant ou non, à quelle fréquence cet événement se produira en choisissant son nombre.

Contrôles d'équité : votre dé est-il vraiment équilibré ?

Tous les chiffres ci-dessus supposent un dé équilibré. Un dé usé, ébréché ou truqué peut fausser les résultats, tout comme un dé mal lancé. Avant de faire confiance à un dé pour une partie importante ou un tirage au sort, effectuez ces vérifications simples. D'abord, observez le dé. Sur un dé équilibré, les faces opposées totalisent 7 (1 face à 6, 2 face à 5, 3 face à 4) et les points ont à peu près la même profondeur. Les dés de casino poussent ce principe plus loin, avec des arêtes vives et des points percés puis arasés, précisément pour qu'aucune face ne pèse plus qu'une autre. Un dé bon marché dont les points sont très profonds sur un seul côté peut présenter un léger biais. Ensuite, lancez sur une surface adaptée. Une table dure et plane ou un plateau à dés garantit un roulement propre et aléatoire. Lancer dans la main en coupe, sur un lit mou ou en pente peut faire glisser le dé au lieu de le faire rouler, ce qui réduit le hasard. Enfin, lancez suffisamment de fois. Dix lancers ne prouvent rien : les courtes séries sont bruyantes, et même un dé équilibré peut afficher trois 6 d'affilée. Mais sur 100 lancers ou plus, chaque face devrait apparaître environ 16,67 % du temps. Si une face domine sans cesse sur une longue série, mettez ce dé de côté.

Idées reçues fréquentes : les dés n'ont pas de mémoire

L'erreur la plus célèbre concernant les dés est l'idée qu'un nombre serait « en retard » après une série d'autres nombres. Si vous obtenez cinq 2 d'affilée, il semble qu'un 6 doive arriver — mais le dé ne se souvient de rien. Chaque lancer est indépendant, et la probabilité d'un 6 au lancer suivant reste exactement de 1 sur 6, soit 16,67 %. Les lancers passés ne changent rien, car rien ne change physiquement à l'intérieur du dé entre deux lancers. L'erreur miroir est la croyance en la « série chaude » : qu'un dé qui vient de donner plusieurs 6 aurait plus de chances d'en donner un autre. Ce n'est pas le cas. Les séries surviennent naturellement dans les séquences aléatoires — d'ailleurs, sur 100 lancers d'un dé équilibré, vous devriez vous attendre à quelques courtes séries —, mais elles n'ont aucun pouvoir prédictif. La seule chose qui modifie les probabilités, c'est de changer de dé, de changer le nombre de dés ou de changer les règles du jeu. Un malentendu voisin consiste à confondre « improbable » et « impossible ». Obtenir un 2 trois fois d'affilée est rare (environ 0,002 % pour trois lancers précis), mais ce n'est pas impossible, et au cours d'une longue soirée de jeu, les événements rares se produisent. Quand l'un d'eux survient, ce n'est pas la preuve que les dés sont truqués : c'est la preuve que vous avez lancé beaucoup de dés.

Une brève note sur trois dés

Ajoutez un troisième dé et le même principe s'étend encore : il y a désormais 6 × 6 × 6 = 216 combinaisons, les totaux vont de 3 à 18 et le sommet se déplace vers le 10 et le 11, chacun avec 27 combinaisons (12,50 %). Les extrêmes, 3 et 18, n'ont qu'une seule combinaison chacun (0,46 %). La pyramide devient une courbe en cloche, et c'est pourquoi les jeux à trois dés semblent moins volatils : les totaux intermédiaires dominent avec encore plus de force. Vous pouvez le vérifier vous-même en lançant trois dés et en notant les totaux au cours d'une soirée.

Comment utiliser le lanceur de dés pour des choix équitables

Quand vous avez besoin d'un résultat vraiment aléatoire — décider qui commence, désigner le gagnant d'un tirage au sort ou trancher une décision —, un lanceur de dés numérique élimine tout doute sur l'équité du résultat. Pas de dé usé, pas de lancer glissé, pas de discussion sur un dé resté incliné. Choisissez simplement le nombre de dés, lancez et utilisez le résultat. Pour un choix équitable entre six options, numérotez-les de 1 à 6 et lancez un dé. Pour choisir entre 36 options, lancez deux dés et lisez-les comme une paire. L'outil s'occupe du hasard ; le tableau des probabilités ci-dessus vous dit à quoi vous attendre.

Essayez-le

Essayez-le : lancez les dés vous-même avec le lanceur de dés :

Questions fréquentes

Quelle est la probabilité d'obtenir un 7 avec deux dés ?

La probabilité est de 6 sur 36, soit 16,67 %. Le sept possède six combinaisons (1+6, 2+5, 3+4, 4+3, 5+2, 6+1), plus que tout autre total, ce qui en fait le résultat le plus fréquent avec deux dés à six faces.

Quelle est la probabilité d'obtenir un 2 ou un 12 avec deux dés ?

Chacun a une probabilité de 1 sur 36, soit 2,78 %. Seul 1+1 forme un 2, et seul 6+6 forme un 12 : ce sont donc les deux totaux les plus rares. Ils sont six fois moins probables qu'un 7.

Quelle est la probabilité d'obtenir un chiffre précis avec un dé ?

Avec un dé équilibré à six faces, chaque face a une probabilité de 1 sur 6, soit 16,67 %. Cela vaut pour toutes les faces, de 1 à 6, et ne change pas en fonction des lancers précédents.

Pourquoi le 7 est-il plus probable que le 6 ou le 8 ?

Parce que le 7 possède six combinaisons, tandis que le 6 et le 8 en ont cinq chacun (13,89 %). Les totaux proches du centre peuvent être formés de plus de façons que les totaux proches des extrêmes, donc la probabilité atteint son sommet au 7 et décroît symétriquement des deux côtés.

Si j'obtiens trois 6 d'affilée, un autre 6 est-il plus probable ?

Non. Les dés n'ont pas de mémoire, donc le lancer suivant a toujours une probabilité de 1 sur 6 (16,67 %) d'être un 6. Les séries sont un trait normal des séquences aléatoires et ne rendent aucun résultat « en retard » ou « chaud ».

Quelle est la probabilité d'obtenir un double avec deux dés ?

Les doubles surviennent dans 6 combinaisons sur 36 (1+1, 2+2, 3+3, 4+4, 5+5, 6+6), soit une probabilité de 16,67 % — la même qu'obtenir un 7.

Quels sont les totaux les plus fréquents avec trois dés ?

Avec trois dés, les totaux 10 et 11 sont ex æquo les plus fréquents, chacun avec 27 combinaisons sur 216 (12,50 %). Les totaux les plus rares sont le 3 et le 18, chacun avec une seule combinaison (0,46 %).

Comment faire un choix équitable avec des dés ?

Numérotez vos options de 1 à 6 et lancez un dé, ou utilisez un lanceur de dés en ligne pour un résultat démontrablement aléatoire. Évitez les dés usés ou ébréchés, lancez sur une surface plane et laissez le dé rouler librement au lieu de le faire glisser.

Sources

• Wikipédia, « Dé » — https://en.wikipedia.org/wiki/Dice
• Encyclopaedia Britannica, « Dice » — https://www.britannica.com/topic/dice
• Random.org, Dice Roller — https://www.random.org/dice/