Oran nasıl hesaplanır: sadeleştirme ve örneklerle çözüm

Oran nedir?

Oran, aynı türden iki büyüklüğü karşılaştırmanın bir yoludur. Bir şeyin diğerine göre ne kadar büyük olduğunu söyler. «Bu tarifte her 2 su bardağı şekere 3 su bardağı un kullanılır» bir orandır. «Takımım kaybettiği her 1 maça karşılık 4 maç kazandı» bir orandır. «Harita ölçeği 1 santimetreye 50 kilometre» de bir orandır.

Oranlar şu tür soruları yanıtlar: «kaç kat fazla?», «bunların her birine karşılık şunlardan kaç tane?» ve «karışım ne?». Her yerdeler: mutfakta, inşaatta, finansta, fotoğrafçılıkta, spor istatistiklerinde, ilaç dozlarında ve boya karıştırırken.

Oranlarla ilgili en baştan bilinmesi gereken iki şey var:

1. Büyüklükler aynı türden olmalı — ya da en azından karşılaştırılabilir. 30 erkek çocuğu 20 kız çocuğuyla, 500 g unu 250 g tereyağıyla ya da 3 saati 45 dakikayla (aynı birime çevirdikten sonra) karşılaştırabilirsiniz. «5 elmaya 3 metre» gibi bir oran anlamsızdır.
2. Sıra önemlidir. 3:4 oranı, 4:3 ile aynı şey değildir. Erkeklerin kızlara oranı, kızların erkeklere oranından farklı bir karşılaştırmadır. Oranı her zaman sorunun istediği sırada, soldan sağa okuyun.

Oranı yazmanın üç yolu

Aynı oran üç biçimde yazılabilir ve üçü de tam olarak aynı anlama gelir:

• İki nokta gösterimi: 3:4 («üçe dört» diye okunur) — ders kitaplarında ve tariflerde en yaygın biçim.
• Kesir biçimi: 3/4 — oranı tek bir sayı gibi ele almak istediğinizde kullanışlıdır.
• Sözlü biçim: «3'e 4» — günlük dilde karşımıza çıkan biçim.

Yani her 4 öğrenciye 3 tablet düşen bir sınıf 3:4, 3/4 ya da «3'e 4» olarak yazılabilir. Okuyucunuz için en açık olanı seçin; matematik aynıdır.

Çözümlü örnek 1: bir sözel problemden oran yazma

Bir gençlik kulübünde 12 erkek ve 18 kız var.

Adım 1 — iki büyüklüğü belirleyin: 12 erkek, 18 kız. İkisi de kişi sayısı, yani karşılaştırılabilir.

Adım 2 — istenen sırada yazın: erkeklerin kızlara oranı = 12:18.

Adım 3 — sadeleştirin: 12 ile 18'in EBOB'u 6'dır, yani 12:18 = 2:3.

Yanıt: erkeklerin kızlara oranı 2:3 — her üç kıza iki erkek.

Birimlerle ilgili bir uyarı: problem 3 saat ve 45 dakika verseydi önce çevirmek gerekirdi (3 saat = 180 dakika, yani oran 180:45 olur ve 4:1'e sadeleşir). Birimleri karışık bir oran asla yazmayın.

En büyük ortak bölen (EBOB) ile oran sadeleştirme

Karşılaştığımız oranların çoğu en sade biçimde değildir. Sadeleştirmek onları daha anlaşılır kılar: 2:3 anında kavranır; 12:18 bir an düşünmeyi gerektirir. İkisi de aynı şeyi söyler.

Yöntem:

1. İki sayının en büyük ortak bölenini (EBOB) bulun: ikisini de kalansız bölen en büyük tam sayı.
2. Oranın her iki terimini de EBOB'a bölün.
3. EBOB 1 ise oran zaten en sade biçimindedir.

Çözümlü örnek 2: 12:18'i sadeleştirme

• 12'nin bölenleri: 1, 2, 3, 4, 6, 12.
• 18'in bölenleri: 1, 2, 3, 6, 9, 18.
• En büyük ortak bölen 6'dır.
• 12 ÷ 6 = 2 ve 18 ÷ 6 = 3.

12:18 sadeleşince 2:3 olur.

Çözümlü örnek 3: 20:25'i sadeleştirme

• 20'nin bölenleri: 1, 2, 4, 5, 10, 20.
• 25'in bölenleri: 1, 5, 25.
• EBOB = 5; 20 ÷ 5 = 4, 25 ÷ 5 = 5.

20:25 sadeleşince 4:5 olur. (4 ile 5'in 1'den başka ortak böleni yok, yani bu en sade biçimdir.)

Çözümlü örnek 4: 100:250'yi sadeleştirme

• 100 ile 250'nin EBOB'u 50'dir.
• 100 ÷ 50 = 2, 250 ÷ 50 = 5.

100:250 sadeleşince 2:5 olur.

Çözümlü örnek 5: üç terimli bir oran — 8:12:16'yı sadeleştirme

Oranların ikiden fazla terimi olabilir. Beton, örneğin, çimento:kum:çakıl = 1:2:3 olarak karıştırılır.

• Üç sayının EBOB'unu bulun: EBOB(8, 12, 16) = 4.
• Her terimi bölün: 8 ÷ 4 = 2, 12 ÷ 4 = 3, 16 ÷ 4 = 4.

8:12:16 sadeleşince 2:3:4 olur. Aynı fikir, bir terim fazla.

Sayılar büyükse tüm bölenleri listelemek yerine Öklid algoritmasını ya da çarpan ağacını kullanın; kural (her şeyi EBOB'a bölmek) asla değişmez.

Denk oranlar: büyütme ve küçültme

Bir oranın her iki terimini de sıfırdan farklı aynı sayıyla çarpın ya da bölün; denk bir oran elde edersiniz: görünüşü farklı ama aynı ilişkiyi anlatan bir çift. Tarifler böyle ölçeklenir, harita mesafeleri böyle çevrilir, karışımlar böyle ayarlanır.

2:3 şunlara denktir: 4:6, 6:9, 10:15 ve 20:30 (her iki terim 2, 3, 5 ve 10 ile çarpıldı). Birini denetleyin: 6:9 yeniden 2:3'e sadeleşir (EBOB 6). Tablodaki her satır aynı en sade biçime indirgenir: denklik testi budur.

Çözümlü örnek 6: denk bir oran bulma

Bir boya formülü kırmızı ile beyazı 3:5 oranında ister ve 15 birim kırmızı kullanarak daha büyük bir parti hazırlamak istiyorsunuz.

• Mevcut oran: 3:5. Hedeflenen kırmızı miktarı: 15.
• 3 × 5 = 15, yani her iki terimi de 5 ile çarpın: 15:25.

Yanıt: 25 birim beyaz boya kullanın. Rengi değiştirmeden oranı 5 ile büyüttünüz.

Çapraz çarpma ile bilinmeyen değeri çözme

İki oran eşit olduğunda bir orantı oluştururlar: a:b = c:d. Bilinmeyen bir terimi bulmak için çapraz çarpın: a × d = b × c, sonra çözün.

Çözümlü örnek 7: 2:3 = x:9'u çözme

• Çapraz çarpın: 2 × 9 = 3 × x → 18 = 3x.
• 3'e bölün: x = 6.
• Denetleyin: 2:3 ve 6:9 ikisi de 2:3'e sadeleşir (6:9 → EBOB 3 → 2:3). ✓

Yanıt: x = 6.

Çözümlü örnek 8: 5:x = 20:12'yi çözme

• Çapraz çarpın: 5 × 12 = x × 20 → 60 = 20x.
• 20'ye bölün: x = 3.
• Denetleyin: 20:12, 5:3'e sadeleşir (EBOB 4). ✓

Yanıt: x = 3.

Çözümlü örnek 9: bir tarifi ölçekleme

Bir krep tarifi un ile şekeri 2:3 oranında kullanıyor. Elinizde 5 su bardağı un var: ne kadar şeker gerekir?

• Orantıyı kurun: 2:3 = 5:x.
• Çapraz çarpın: 2 × x = 3 × 5 → 2x = 15.
• x = 7,5.

Yanıt: 7,5 su bardağı şeker (7 buçuk bardak). 2:3 ilişkisi korunur.

Oran ve kesir: parça-parça tuzağı

Oran parçayı parçayla karşılaştırır; kesir parçayı bütüne karşılaştırır. Bunları karıştırmak, oranlarla ilgili en yaygın hatadır.

• 3:4 oranı şu anlama gelir: A'nın her 3 birimine karşılık B'nin 4 birimi vardır.
• Bütünün kesri olarak A = 3/(3+4) = 3/7 ve B = 4/7'dir.

Çevirme kuralı: a:b oranından birinci büyüklük toplamın a/(a+b) kesri, ikinci büyüklük b/(a+b) kesridir.

Örnek: bir sınıfta erkeklerin kızlara oranı 3:7. Erkek olan öğrencilerin kesri 3/(3+7) = 3/10 = 0,3 = %30. Kızların kesri 7/10 = %70. Ve %30 + %70 = %100: çevirmenin doğru olduğunu kanıtlayan denetim.

Oranlar gerçek hayatta

Tarifler ve mutfak. Temel bir salata sosu yağa sirke 3:1'dir; ekmek hamuru kabaca una su 5:3'tür; basit bir şerbet şekere su 1:1'dir. Oranı bilirseniz hesap makinesi olmadan her tarifi ölçekleyebilirsiniz.

Haritalar ve maketler. 1:50 000 harita ölçeği, haritadaki 1 birimin gerçekte aynı birimden 50 000'ini temsil ettiği anlamına gelir. Örnek: 1 cm'ye 50 km ölçeğinde iki kasaba haritada 3,4 cm arayla. Gerçek mesafe = 3,4 × 50 = 170 km. 1:72 ölçekli bir uçak maketi, gerçek uçağın 1/72'si uzunluğundadır.

Finans. Borç-gelir oranı, aylık borç ödemelerini brüt aylık gelire karşılaştırır: 4 000 ₺ gelire 1 200 ₺ ödeme = 1 200:4 000 = 3:10, yani %30: bankaların gerçekten baktığı rakam. Yatırımcılar hisse karşılaştırmak için fiyat-kazanç oranını kullanır (hisse başına 2,50 ₺ kazancı olan 50 ₺'lik hisse = 50:2,50 = 20:1).

Boya ve beton karıştırma. 3 birim verniğe 1 birim tiner, toplam 12 litre: 3+1 = 4 birim; her birim = 3 litre; 9 litre vernik ve 3 litre tiner. 60 kg'lık parti için 1:2:3 beton (çimento:kum:çakıl): 6 birim; her birim = 10 kg; 10 kg çimento, 20 kg kum, 30 kg çakıl.

En-boy oranları. 16:9 oranı modern geniş ekranları ve videoları tanımlar; 4:3 eski TV standardıydı.

Oranlarla ilgili yaygın hatalar

• Karışık birimler: önce çevirin; 3 saatin 45 dakikaya oranı 180:45 = 4:1'dir, 3:45 değil.
• Ters sıra: 3:4, 4:3 değildir. Sorunun istediği sıraya uyun.
• Sadeleştirmeyi unutmak: 14:21 doğrudur ama beklenen yanıt 2:3'tür (EBOB 7).
• Parça-parça oranı kesir gibi okumak: 3:4 «bütünün 3/4'ü» demek değil, 3/7 ve 4/7 demektir.
• Sıfır terim: 5:0 gibi bir oran tanımsızdır; verilerinizi her zaman denetleyin.

30 saniyede yöntem özeti

1. Büyüklükleri istenen sırada, aynı birimlerle a:b olarak yazın.
2. Her iki terimi de EBOB'larına bölerek sadeleştirin.
3. Ölçeklemek için her iki terimi de aynı sayıyla çarpın ya da bölün.
4. Bilinmeyen bir değer için a:b = c:d kurun ve çapraz çarpın: ad = bc.
5. Oranı bütünün kesirlerine çevirmek için a/(a+b) ve b/(a+b) kullanın.

Ücretsiz Oran Hesaplayıcı'yı deneyin: https://toolfacil.com/tr/oran-hesaplama/ — oranları sadeleştirir, denk oranlar bulur ve bilinmeyen değerleri anında çözer.