Probabilidades dos dados explicadas de forma simples

Um dado: a probabilidade mais simples dos jogos

Um dado padrão de seis faces tem as faces numeradas de 1 a 6 e, se o dado for honesto, cada face tem exatamente a mesma chance de sair. Isso dá a cada resultado individual uma probabilidade de 1 em 6, ou cerca de 16,67 %. Tirar um 3 é exatamente tão provável quanto tirar um 5, um 1 ou qualquer outra face. Não existe face "com sorte", face "prestes a sair" nem forma de influenciar o resultado soprando o dado, chacoalhando-o por mais tempo ou lançando-o com delicadeza. Esse fato tão simples é a base de tudo o que vem a seguir. Quando você acrescenta um segundo dado, já não está perguntando sobre um resultado em seis. Está perguntando sobre combinações — e as combinações são onde as probabilidades dos dados ficam interessantes. Um hábito útil é pensar sempre em termos de "de quantos?". Com um dado, a resposta é sempre "de 6". Com dois dados, é "de 36", porque cada uma das 6 faces do primeiro dado pode se combinar com cada uma das 6 faces do segundo. Essa única mudança, de 6 para 36 resultados possíveis, explica toda a forma da probabilidade com dois dados.

Dois dados: a tabela completa das somas

Quando você lança dois dados e soma os valores, os totais possíveis vão de 2 (1 + 1) a 12 (6 + 6). Mas os totais não são igualmente prováveis, porque alguns podem ser formados de mais maneiras do que outros. A tabela abaixo mostra cada total, as combinações que o produzem e sua probabilidade.

Observe que os dois dados são contados separadamente: 1+2 e 2+1 são combinações diferentes, mesmo que deem o mesmo total. Por isso o 7 vence: ele tem seis caminhos diferentes, enquanto o 2 e o 12 têm apenas um cada. Somando todas as porcentagens, você chega a 100 %, como deve ser: cada lançamento cai em exatamente um total.

Por que o 7 é o total mais comum

Pense nisso como uma questão de margem de manobra. Para formar um 7, o primeiro dado pode mostrar quase qualquer coisa, de 1 a 6, e o segundo dado simplesmente completa o número que falta. Para formar um 2, ao contrário, os dois dados precisam mostrar 1 ao mesmo tempo; não há alternativa. Os totais próximos do centro têm muitas combinações associadas, enquanto os totais das extremidades quase não têm nenhuma. Se você desenhar as probabilidades em um gráfico, obtém uma pirâmide simétrica com o pico no 7. Isso também explica alguns fatos práticos. Tirar 7 ou mais acontece em 21 de 36 casos, ou seja, 58,33 % das vezes — mais da metade. Tirar uma dupla (os dois dados iguais) acontece em 6 de 36 casos, ou 16,67 %, exatamente a mesma probabilidade de tirar um 7. E a chance de tirar pelo menos um 6 com dois dados é de 30,56 %, porque 11 das 36 combinações contêm um 6. Muitos iniciantes supõem que dois dados dobram a chance de um 6, de 16,67 % para 33,33 %, mas o valor correto é menor, porque a combinação 6+6 só é contada uma vez.

Exemplos em jogos de tabuleiro: por que as chances de cair numa casa variam

As probabilidades dos dados não são só teoria; elas mudam a forma de jogar. Pense no ludo, tão popular nas noites em família no Brasil: para sair da base, em muitas regras é preciso tirar um 6, o que acontece em apenas 1 de cada 6 lançamentos (16,67 %), por isso não é raro passar várias rodadas esperando. No jogo da glória, por outro lado, o avanço depende da soma de dois dados, e as casas situadas a sete passos são as mais fáceis de alcançar, com 16,67 %, enquanto as situadas a dois passos só são alcançadas com um 1+1, ou 2,78 %. A mesma lógica funciona ao contrário. Suponha que a peça de um adversário esteja a certa distância atrás da sua e precise de um lançamento exato para capturá-la. A uma distância de sete, o perigo é máximo. A uma distância de dois ou de doze, é mínimo. Você não precisa decorar a tabela inteira para aproveitar isso: basta lembrar que as distâncias intermediárias são perigosas e as extremas são seguras. Outro exemplo clássico é o craps, o jogo de dados de cassino construído inteiramente sobre essas probabilidades. O primeiro lançamento vence na hora com um 7 ou um 11 e perde na hora com um 2, um 3 ou um 12. Por isso o 7 domina o jogo: ele aparece mais do que qualquer outro total, então as regras foram desenhadas em torno dele. Nos jogos em família acontece o mesmo sempre que uma casa especial, um prêmio ou uma penalidade é acionada por um total específico: o criador do jogo escolheu, saiba ele ou não, com que frequência esse evento vai acontecer ao escolher o seu número.

Verificações de jogo limpo: o seu dado é realmente honesto?

Todos os números acima pressupõem um dado honesto. Um dado gasto, lascado ou viciado pode distorcer os resultados, e um dado mal lançado também. Antes de confiar num dado para uma partida importante ou um sorteio, faça estas verificações simples. Primeiro, observe o dado. Num dado equilibrado, as faces opostas somam 7 (1 oposto ao 6, 2 oposto ao 5, 3 oposto ao 4) e os pontos têm mais ou menos a mesma profundidade. Os dados de cassino levam isso mais longe, com arestas afiadas e pontos perfurados e nivelados, justamente para que nenhuma face pese mais do que outra. Um dado barato com pontos muito profundos em apenas um lado pode ter um leve viés. Segundo, lance sobre uma superfície adequada. Uma mesa dura e plana ou uma bandeja de dados proporciona um giro limpo e aleatório. Lançar na mão em concha, sobre uma cama macia ou por uma ladeira pode fazer o dado deslizar em vez de rolar, o que reduz a aleatoriedade. Terceiro, lance vezes suficientes. Dez lançamentos não provam nada: séries curtas são ruidosas, e mesmo um dado honesto pode mostrar três 6 seguidos. Mas ao longo de 100 lançamentos ou mais, cada face deve aparecer cerca de 16,67 % das vezes. Se uma face dominar repetidamente numa série longa, aposente esse dado.

Equívocos comuns: os dados não têm memória

A falácia mais famosa dos dados é a ideia de que um número está "prestes a sair" depois de uma sequência de outros números. Se você tirar cinco 2 seguidos, parece que um 6 tem de vir — mas o dado não se lembra de nada. Cada lançamento é independente, e a probabilidade de um 6 no próximo lançamento continua sendo exatamente de 1 em 6, ou 16,67 %. Os lançamentos passados não mudam nada, porque nada muda fisicamente dentro do dado entre um lançamento e outro. O erro espelho é a crença na "sequência quente": que um dado que acabou de tirar vários 6 tem mais chance de tirar outro. Não tem. Sequências acontecem naturalmente em séries aleatórias — na verdade, em 100 lançamentos de um dado honesto você deve esperar algumas sequências curtas —, mas elas não têm poder de previsão. A única coisa que muda as probabilidades é trocar o dado, o número de dados ou as regras do jogo. Um mal-entendido relacionado é confundir "improvável" com "impossível". Tirar um 2 três vezes seguidas é raro (cerca de 0,002 % para três lançamentos específicos), mas não é impossível, e numa longa noite de jogo os eventos raros acontecem. Quando um acontece, não é prova de que os dados estão viciados — é prova de que você lançou muitos dados.

Uma breve nota sobre três dados

Acrescente um terceiro dado e o mesmo princípio se estende ainda mais: agora há 6 × 6 × 6 = 216 combinações, os totais vão de 3 a 18 e o pico se desloca para o 10 e o 11, cada um com 27 combinações (12,50 %). Os extremos, 3 e 18, têm apenas 1 combinação cada (0,46 %). A pirâmide vira uma curva em sino, e por isso os jogos com três dados parecem menos instáveis: os totais intermediários dominam com ainda mais força. Você pode conferir isso lançando três dados e anotando os totais ao longo de uma noite.

Como usar o lançador de dados para escolhas justas

Quando você precisa de um resultado verdadeiramente aleatório — decidir quem começa, escolher o vencedor de um sorteio ou resolver uma decisão —, um lançador de dados digital elimina qualquer dúvida sobre a lisura do resultado. Não há dado gasto, lançamento deslizado nem discussão sobre se o dado ficou inclinado. Basta escolher o número de dados, lançar e usar o resultado. Para uma escolha justa entre seis opções, numere-as de 1 a 6 e lance um dado. Para escolher entre 36 opções, lance dois dados e leia-os como um par. A ferramenta cuida da aleatoriedade; a tabela de probabilidades acima mostra o que esperar.

Experimente

Experimente: lance os dados você mesmo com o lançador de dados.

Perguntas frequentes

Qual é a probabilidade de tirar um 7 com dois dados?

A probabilidade é de 6 em 36, ou 16,67 %. O sete tem seis combinações (1+6, 2+5, 3+4, 4+3, 5+2, 6+1), mais do que qualquer outro total, o que o torna o resultado mais comum com dois dados de seis faces.

Qual é a probabilidade de tirar um 2 ou um 12 com dois dados?

Cada um tem uma probabilidade de 1 em 36, ou 2,78 %. Apenas o 1+1 forma um 2, e apenas o 6+6 forma um 12, então são os dois totais mais raros. Eles são seis vezes menos prováveis do que um 7.

Qual é a probabilidade de tirar um número específico com um dado?

Com um dado honesto de seis faces, cada face tem uma probabilidade de 1 em 6, ou 16,67 %. Isso vale para todas as faces, de 1 a 6, e não muda conforme os lançamentos anteriores.

Por que o 7 é mais provável do que o 6 ou o 8?

Porque o 7 tem seis combinações, enquanto o 6 e o 8 têm cinco cada (13,89 %). Os totais próximos do centro podem ser formados de mais maneiras do que os totais próximos das extremidades, então a probabilidade atinge o pico no 7 e cai de forma simétrica dos dois lados.

Se eu tirar três 6 seguidos, outro 6 fica mais provável?

Não. Os dados não têm memória, então o próximo lançamento continua tendo uma chance de 1 em 6 (16,67 %) de ser um 6. Sequências são um traço normal das séries aleatórias e não fazem nenhum resultado ficar "prestes a sair" ou "quente".

Qual é a probabilidade de tirar uma dupla com dois dados?

As duplas ocorrem em 6 de 36 combinações (1+1, 2+2, 3+3, 4+4, 5+5, 6+6), o que dá uma probabilidade de 16,67 % — a mesma de tirar um 7.

Quais são os totais mais comuns com três dados?

Com três dados, os totais 10 e 11 empatam como os mais comuns, cada um com 27 de 216 combinações (12,50 %). Os totais mais raros são o 3 e o 18, cada um com apenas 1 combinação (0,46 %).

Como posso fazer uma escolha justa com dados?

Numere suas opções de 1 a 6 e lance um dado, ou use um lançador de dados online para um resultado comprovadamente aleatório. Evite dados gastos ou lascados, lance sobre uma superfície plana e deixe o dado rolar livremente em vez de deslizá-lo.

Fontes

• Wikipédia, "Dado" — https://en.wikipedia.org/wiki/Dice
• Encyclopaedia Britannica, "Dice" — https://www.britannica.com/topic/dice
• Random.org, Dice Roller — https://www.random.org/dice/