Le probabilità dei dadi spiegate in modo semplice

Un dado: la probabilità più semplice dei giochi

Un dado standard a sei facce ha le facce numerate da 1 a 6 e, se il dado è onesto, ogni faccia ha esattamente la stessa probabilità di uscire. Questo dà a ogni singolo risultato una probabilità di 1 su 6, cioè circa il 16,67 %. Ottenere un 3 è esattamente probabile quanto ottenere un 5, un 1 o qualsiasi altra faccia. Non esiste una faccia "fortunata", nessuna faccia "in ritardo" e nessun modo di influenzare il risultato soffiando sul dado, scuotendolo più a lungo o lanciandolo "delicatamente". Questo fatto così semplice è la base di tutto ciò che segue. Quando aggiungi un secondo dado, non stai più chiedendo un risultato su sei. Stai chiedendo combinazioni — ed è con le combinazioni che le probabilità dei dadi diventano interessanti. Un'abitudine utile è ragionare sempre in termini di "su quanti?". Con un dado, la risposta è sempre "su 6". Con due dadi è "su 36", perché ciascuna delle 6 facce del primo dado può abbinarsi a ciascuna delle 6 facce del secondo. Questo unico passaggio, da 6 a 36 risultati possibili, spiega l'intera forma della probabilità con due dadi.

Due dadi: la tabella completa delle somme

Quando lanci due dadi e li sommi, i totali possibili vanno da 2 (1 + 1) a 12 (6 + 6). Ma i totali non sono ugualmente probabili, perché alcuni possono essere formati in più modi di altri. La tabella seguente mostra ogni totale, le combinazioni che lo producono e la sua probabilità.

Nota che i due dadi vengono contati separatamente: 1+2 e 2+1 sono combinazioni diverse, anche se danno lo stesso totale. Ecco perché vince il 7: ha sei percorsi diversi, mentre il 2 e il 12 ne hanno uno solo ciascuno. Sommando tutte le percentuali ottieni il 100 %, come deve essere: ogni lancio cade su esattamente un totale.

Perché il 7 è il totale più frequente

Pensalo come una questione di margine di manovra. Per formare un 7, il primo dado può mostrare quasi qualsiasi cosa, da 1 a 6, e il secondo dado fornisce semplicemente il numero mancante. Per formare un 2, invece, entrambi i dadi devono mostrare 1 nello stesso momento; non c'è alternativa. I totali vicini al centro hanno molte combinazioni associate, mentre i totali agli estremi quasi nessuna. Se disegni le probabilità in un grafico ottieni una piramide simmetrica con il picco sul 7. Questo spiega anche alcuni fatti pratici. Ottenere un 7 o più avviene in 21 casi su 36, cioè il 58,33 % delle volte: più della metà. Ottenere un doppio (i due dadi uguali) avviene in 6 casi su 36, cioè il 16,67 %, esattamente la stessa probabilità di ottenere un 7. E la probabilità di ottenere almeno un 6 con due dadi è del 30,56 %, perché 11 delle 36 combinazioni contengono un 6. Molti principianti suppongono che due dadi raddoppino la probabilità di un 6, dal 16,67 % al 33,33 %, ma la cifra corretta è più bassa, perché la combinazione 6+6 viene contata una sola volta.

Esempi nei giochi da tavolo: perché cambiano le probabilità di atterraggio

Le probabilità dei dadi non sono solo teoria; cambiano il modo di giocare. Pensa al gioco dell'oca, amatissimo nelle serate in famiglia in Italia: si avanza in base al lancio, e le caselle situate a sette passi sono le più facili da raggiungere in modo esatto, con il 16,67 %, mentre quelle a due passi si raggiungono solo con 1+1, un 2,78 %. In un gioco di percorso con pedine, come il classico "Non t'arrabbiare" o la dama cinese con dadi, lo stesso principio decide quanto spesso una pedina viene catturata: a sette caselle di distanza il pericolo è massimo, a due o dodici è minimo. La stessa logica funziona al contrario. Supponi che la pedina di un avversario si trovi a una certa distanza dietro la tua e abbia bisogno di un lancio esatto per catturarti. A una distanza di sette, il pericolo è al massimo. A una distanza di due o dodici, è al minimo. Non devi memorizzare l'intera tabella per sfruttarlo: basta ricordare che le distanze intermedie sono pericolose e quelle estreme sono sicure. Un altro esempio classico è il craps, il gioco di dadi da casinò costruito interamente su queste probabilità. Il primo lancio, chiamato come-out roll, vince subito con 7 o 11 e perde subito con 2, 3 o 12. Ecco perché il 7 domina il gioco: compare più spesso di qualsiasi altro totale, quindi le regole sono progettate intorno a esso. Nei giochi in famiglia accade lo stesso ogni volta che una casella speciale, un premio o una penalità si attiva con un totale preciso: chi ha progettato il gioco ha scelto, sapendolo o no, con quale frequenza si verificherà quell'evento scegliendo il suo numero.

Controlli di equità: il tuo dado è davvero onesto?

Tutti i numeri sopra presuppongono un dado onesto. Un dado usurato, scheggiato o truccato può distorcere i risultati, e anche un dado lanciato male. Prima di affidarti a un dado per una partita importante o un sorteggio, fai questi semplici controlli. Primo, osserva il dado. In un dado equilibrato, le facce opposte sommano a 7 (1 opposto al 6, 2 opposto al 5, 3 opposto al 4) e i punti hanno più o meno la stessa profondità. I dadi da casinò spingono questo principio oltre, con spigoli vivi e punti forati e livellati, proprio affinché nessuna faccia pesi più di un'altra. Un dado economico con punti molto profondi su un solo lato può avere una leggera distorsione. Secondo, lancia su una superficie adatta. Un tavolo duro e piatto o un vassoio per dadi garantisce un rotolamento pulito e casuale. Lanciare nel palmo cavo della mano, su un letto morbido o in discesa può far scivolare il dado invece di farlo rotolare, riducendo la casualità. Terzo, lancia un numero sufficiente di volte. Dieci lanci non dimostrano nulla: le serie brevi sono rumorose, e anche un dado onesto può mostrare tre 6 di fila. Ma nel corso di 100 o più lanci, ogni faccia dovrebbe apparire circa il 16,67 % delle volte. Se una faccia domina ripetutamente in una serie lunga, metti da parte quel dado.

Idee sbagliate comuni: i dadi non hanno memoria

La fallacia più famosa dei dadi è l'idea che un numero sia "in ritardo" dopo una serie di altri numeri. Se ottieni cinque 2 di fila, sembra che un 6 debba arrivare — ma il dado non ricorda nulla. Ogni lancio è indipendente, e la probabilità di un 6 al lancio successivo resta esattamente di 1 su 6, cioè il 16,67 %. I lanci passati non cambiano nulla, perché dentro il dado non cambia nulla di fisico tra un lancio e l'altro. L'errore speculare è credere nella "striscia calda": che un dado che ha appena dato diversi 6 abbia più probabilità di darne un altro. Non è così. Le strisce si verificano naturalmente nelle sequenze casuali — anzi, in 100 lanci di un dado onesto dovresti aspettarti qualche breve striscia —, ma non hanno potere predittivo. L'unica cosa che cambia le probabilità è cambiare il dado, il numero di dadi o le regole del gioco. Un fraintendimento collegato è confondere "improbabile" con "impossibile". Ottenere un 2 tre volte di fila è raro (circa lo 0,002 % per tre lanci specifici), ma non è impossibile, e in una lunga serata di gioco gli eventi rari accadono. Quando ne accade uno, non è la prova che i dadi siano truccati: è la prova che hai lanciato molti dadi.

Una breve nota su tre dadi

Aggiungi un terzo dado e lo stesso principio si estende ulteriormente: ora ci sono 6 × 6 × 6 = 216 combinazioni, i totali vanno da 3 a 18 e il picco si sposta su 10 e 11, ciascuno con 27 combinazioni (12,50 %). Gli estremi, 3 e 18, hanno una sola combinazione ciascuno (0,46 %). La piramide diventa una curva a campana, ed è per questo che i giochi con tre dadi sembrano meno altalenanti: i totali intermedi dominano con ancora più forza. Puoi verificarlo tu stesso lanciando tre dadi e annotando i totali nel corso di una serata.

Come usare il lanciatore di dadi per scelte eque

Quando hai bisogno di un risultato davvero casuale — decidere chi inizia, scegliere il vincitore di un sorteggio o risolvere una decisione —, un lanciatore di dadi digitale elimina ogni dubbio sull'equità del risultato. Non c'è dado usurato, lancio scivolato o discussione sul fatto che il dado sia rimasto inclinato. Basta scegliere il numero di dadi, lanciare e usare il risultato. Per una scelta equa tra sei opzioni, numerale da 1 a 6 e lancia un dado. Per scegliere tra 36 opzioni, lancia due dadi e leggili come coppia. Lo strumento si occupa della casualità; la tabella delle probabilità sopra ti dice che cosa aspettarti.

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Domande frequenti

Qual è la probabilità di ottenere un 7 con due dadi?

La probabilità è di 6 su 36, cioè il 16,67 %. Il sette ha sei combinazioni (1+6, 2+5, 3+4, 4+3, 5+2, 6+1), più di qualsiasi altro totale, il che lo rende il risultato più frequente con due dadi a sei facce.

Qual è la probabilità di ottenere un 2 o un 12 con due dadi?

Ciascuno ha una probabilità di 1 su 36, cioè il 2,78 %. Solo 1+1 forma un 2, e solo 6+6 forma un 12, quindi sono i due totali più rari. Sono sei volte meno probabili di un 7.

Qual è la probabilità di ottenere un numero preciso con un dado?

Con un dado onesto a sei facce, ogni faccia ha una probabilità di 1 su 6, cioè il 16,67 %. Questo vale per tutte le facce, da 1 a 6, e non cambia in base ai lanci precedenti.

Perché il 7 è più probabile del 6 o dell'8?

Perché il 7 ha sei combinazioni, mentre il 6 e l'8 ne hanno cinque ciascuno (13,89 %). I totali vicini al centro possono essere formati in più modi rispetto ai totali vicini agli estremi, quindi la probabilità raggiunge il picco sul 7 e scende in modo simmetrico da entrambi i lati.

Se ottengo tre 6 di fila, un altro 6 è più probabile?

No. I dadi non hanno memoria, quindi il lancio successivo ha ancora una probabilità di 1 su 6 (16,67 %) di essere un 6. Le strisce sono una caratteristica normale delle sequenze casuali e non rendono nessun risultato "in ritardo" o "caldo".

Qual è la probabilità di ottenere un doppio con due dadi?

I doppi si verificano in 6 combinazioni su 36 (1+1, 2+2, 3+3, 4+4, 5+5, 6+6), con una probabilità del 16,67 %: la stessa di ottenere un 7.

Quali sono i totali più frequenti con tre dadi?

Con tre dadi, i totali 10 e 11 sono a pari merito i più frequenti, ciascuno con 27 combinazioni su 216 (12,50 %). I totali più rari sono il 3 e il 18, ciascuno con una sola combinazione (0,46 %).

Come posso fare una scelta equa con i dadi?

Numera le tue opzioni da 1 a 6 e lancia un dado, oppure usa un lanciatore di dadi online per un risultato dimostrabilmente casuale. Evita dadi usurati o scheggiati, lancia su una superficie piana e lascia rotolare il dado liberamente invece di farlo scivolare.

Fonti

• Wikipedia, "Dado" — https://en.wikipedia.org/wiki/Dice
• Encyclopaedia Britannica, "Dice" — https://www.britannica.com/topic/dice
• Random.org, Dice Roller — https://www.random.org/dice/